∩
Teoria dos Conjuntos
6 questões — inclui tópicos de maior incidência em prova
Conjuntos · Questão 1 ★ Importante Médio
Seja A = {x ∈ ℝ | 0 < x < ¾}. Quais das afirmativas abaixo são VERDADEIRAS?
💡 O conjunto A usa intervalo aberto em ¾, ou seja, ¾ não pertence ao conjunto.
Conjuntos · Questão 2 ★ Importante
Seja K = {1, 4, 7, 9, 10, 11}. Qual é o conjunto B = {x ∈ K | x é primo}?
💡 Lembre: 1 não é primo. 9 = 3×3, então também não é primo. Verifique 7 e 11.
Conjuntos · Questão 3
Considerando A = {2, {4,5}, 4}, qual alternativa contém APENAS sentenças verdadeiras?
💡 5 é elemento de {4,5}, mas não é elemento direto de A. {4,5} como um todo SIM é elemento de A. {2} ⊂ A pois 2 ∈ A.
Conjuntos · Questão 4 ★ Importante
Considere A = {2,4,5,6,8}, B = {1,4,5,9} e S = {0,1,...,9}. Qual é o resultado de A − B?
💡 A − B = elementos que estão em A mas NÃO estão em B. Remova de A tudo que aparece em B.
Conjuntos · Questão 5 ★ Importante
Quantos subconjuntos tem o conjunto {a, b, c}? E qual é o conjunto das partes P({a,b,c})?
💡 Um conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos, incluindo ∅ e o próprio conjunto. Para n=3: 2³ = 8.
Conjuntos · Questão 6 — Dissertativa Difícil
Quais das proposições abaixo são verdadeiras para todos os conjuntos A, B e C?
i) A ∪ A = A ii) A − B = (B̄ − Ā) iii) (A − B) ∩ (B − A) = ∅ iv) ∅ × A = ∅
Escreva as letras das verdadeiras separadas por vírgula (ex: i, iii):
i) A ∪ A = A ii) A − B = (B̄ − Ā) iii) (A − B) ∩ (B − A) = ∅ iv) ∅ × A = ∅
Escreva as letras das verdadeiras separadas por vírgula (ex: i, iii):
💡 Pense: a diferença entre A e B é disjunta da diferença entre B e A por definição. O produto cartesiano de ∅ com qualquer conjunto é ∅.
↔
Relações Binárias
6 questões — foco em propriedades e classificação
Relações · Questão 1 ★ Importante
Sejam E = {0,1,2} e F = {1,2,3,4,5}. A relação x R y ↔ x = y − 2 (x ∈ E, y ∈ F) resulta em qual conjunto de pares ordenados?
💡 Substitua cada x ∈ E: y = x + 2. Verifique se y ∈ F. Para x=0: y=2 ✓; x=1: y=3 ✓; x=2: y=4 ✓.
Relações · Questão 2 ★ Importante
Classifique a relação R = {(1,1), (2,3), (3,2)} sobre X = {1,2,3}. Ela é:
💡 Reflexiva: (1,1),(2,2),(3,3) ∈ R? Simétrica: (2,3) ∈ R implica (3,2) ∈ R? Transitiva: (2,3) e (3,2) ∈ R implica (2,2) ∈ R?
Relações · Questão 3
Classifique como um-para-um, um-para-muitos, muitos-para-um ou muitos-para-muitos:
R = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,3), (4,3)}
R = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,3), (4,3)}
💡 O elemento 1 aparece 3 vezes à esquerda (1→2, 1→4, 1→6) = um-para-muitos. Mas 3 aparece à direita de dois elementos (2→3 e 4→3) = muitos-para-um. Ambos juntos = muitos-para-muitos.
Relações · Questão 4 ★ Importante
Seja R a relação < de A = {1,2,3,4} em B = {1,3,5} ("x é menor que y"). Qual é R como conjunto de pares ordenados?
💡 Para cada x ∈ A, liste os y ∈ B tais que x < y. Ex: x=1 → y pode ser 3 ou 5. x=4 → y pode ser 5.
Relações · Questão 5 ★ Importante
Qual das coleções a seguir é uma partição de X = {a,b,c,d,e,f,g}?
💡 Uma partição exige: 1) todos os subconjuntos não-vazios, 2) disjuntos entre si, 3) a união é o conjunto inteiro X.
Relações · Questão 6 — Dissertativa Difícil
Construa uma relação T em S = {1,2,3,4} que seja reflexiva e transitiva, mas NÃO simétrica e NÃO antissimétrica. Escreva os pares ordenados:
💡 Comece com todos os pares (x,x) para reflexividade. Adicione (1,2) e (2,1) para quebrar a antissimetria, mas certifique-se de incluir os pares transitivos necessários.
f(x)
Funções
6 questões — injetora, sobrejetora, bijetora, composição
Funções · Questão 1 ★ Importante
Sendo E = {a,b,c,d} e F = {1,2,3}, qual das relações abaixo É uma função de E em F?
💡 Uma função exige que CADA elemento do domínio tenha EXATAMENTE UMA imagem.
Funções · Questão 2 ★ Importante
Quais das funções de E = {a,b,c,d} em F = {0,1,2,3,4} são INJETORAS?
f1={(a,0),(b,1),(c,2),(d,4)} | f2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)} | f3={(a,2),(b,4),(c,3),(d,0)}
f1={(a,0),(b,1),(c,2),(d,4)} | f2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)} | f3={(a,2),(b,4),(c,3),(d,0)}
💡 Injetora = sem dois elementos do domínio com a mesma imagem. f2: a→1 e d→1 = não injetora.
Funções · Questão 3 ★ Importante
Quais das funções de E = {r,s,t} em F = {1,2,3} são BIJETORAS?
f1={(r,1),(s,1),(t,2)} | f2={(r,3),(s,1),(t,2)} | f3={(r,3),(s,2),(t,3)} | f4={(r,1),(s,2),(t,3)}
f1={(r,1),(s,1),(t,2)} | f2={(r,3),(s,1),(t,2)} | f3={(r,3),(s,2),(t,3)} | f4={(r,1),(s,2),(t,3)}
💡 Bijetora = injetora E sobrejetora. f2: cobre 1,2,3 sem repetição ✓. f4: cobre 1,2,3 sem repetição ✓.
Funções · Questão 4 ★ Importante
Sejam f(x) = x + 1 e g(x) = 3x. Calcule (g ∘ f)(5) e (f ∘ g)(5).
💡 g∘f: f(5)=6, g(6)=18. f∘g: g(5)=15, f(15)=16.
Funções · Questão 5
Sejam f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² − 2. Qual é a fórmula de (g ∘ f)(x)?
💡 (g∘f)(x) = (2x+1)² − 2 = 4x² + 4x + 1 − 2 = 4x² + 4x − 1.
Funções · Questão 6 — Dissertativa
Sejam S={1,2,3,4}, T={1,...,6}, f={(1,2),(2,4),(3,3),(4,6)} e g={(1,7),(2,6),(3,9),(4,7),(5,8),(6,9)}. Escreva g ∘ f:
💡 (g∘f)(1)=g(f(1))=g(2)=6 → (1,6). (g∘f)(2)=g(4)=7 → (2,7).
C(n,k)
Contagem e Combinatória
6 questões — princípio multiplicativo, permutação, combinação, inclusão-exclusão
Combinatória · Questão 1
Uma loja de iogurte tem 5 sabores, 3 acompanhamentos e 2 coberturas. Quantas sobremesas diferentes?
💡 5 × 3 × 2 = 30.
Combinatória · Questão 2
1°, 2° e 3° prêmio em competição com 15 participantes. Quantas maneiras?
💡 Ordem importa: 15×14×13 = 2.730.
Combinatória · Questão 3
Júri: 5 homens (de 17) e 7 mulheres (de 23). Quantas maneiras?
💡 Combinações independentes: multiplique.
Combinatória · Questão 4
42 turistas, 35 falam inglês, 18 falam francês. Quantos falam os dois?
💡 |A∩B| = 35 + 18 − 42 = 11.
Combinatória · Questão 5
Permutações da palavra ERRO.
💡 4! / 2! = 12.
Combinatória · Questão 6 — Dissertativa
Quantas pessoas para garantir 2 no mesmo mês? Explique o princípio.
💡 Princípio das Gavetas: 12 meses (gavetas) → 13 pessoas.
Resultado Final
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